Комплекс /(?) комплексных переменных. Найдем, какое поле скоростей определяется жалобой ? = x + yi: G/2YA — вещественное число — аномальный вид коэффициента G/2YA объясняется ниже. Чтобы представить эту функцию в комплексной форме (т.е. отделить ее действительную часть от мнимой), воспользуемся треугольной формой представления комплексных чисел;: = ge; где g = yjx 2 + u — коэффициент комплексного числа. e = arctg(y/x) — аргумент.
Предположим, что поток описывается потенциалом скорости и силовой функцией, приравнивая силовую функцию| Администрация Платавского сельского поселения/(x, y) к различным константам, рис. 18. Набор течений, показанный на рис. 10, представляет собой осевой поток жидкости от источника, причем источник является первым. При таком закручивании потока в случае непрерывного обтекания цилиндра силовые линии не будут совпадать с поверхностью цилиндра. Если предположить, то возникает другая картина течения (приемлемая, поскольку и действительная, и чудесная части сложной функции (18. 19) являются гармоническими функциями). В этом случае течения представляют собой концентрические окружности (рис. 18. 11), а эквипотенциальная линия — прямая, проходящая через сложную функцию (18. 19).
Рис. 18. 10: Потенциальные линии, равные силовым линиям источника (со стрелками) в начале координат
Рис. 18. 11: Силовые линии (со стрелками) и равные потенциальные линии для потенциальных вихрей — иллюстрация концепции циркуляции скоростей.
Наиболее важной характеристикой поля скоростей потенциального вихря является скорость движения по замкнутому контуру, окружающему орган, описываемый уравнением.
I (x, y) — вектор скорости в точке, взятой на контуре- 1 — единичный вектор, касательный к контуру в этой точке- ds — длина элемента контура- ut— проекция скорости на касательную к контуру.
Вычислите циркуляцию скорости вдоль линии тока, представляющей собой радиус R. Осевая симметрия потока, измерение скорости и все части этого цикла одинаковы, например, в точках, равных по измеренной скорости (/? , 0), вычисленной по виду| Администрация Платавского сельского поселения/(x, y) = — — ln- x 2 + y 2.
Равенство (18. 21) можно переписать в виде
Это говорит о том, что в поле скоростей со свободным потенциалом значение скорости жидкости обратно пропорционально расстоянию R от оси вихря. Это свойство иногда называют «законом площади». Его название связано с тем, что для круга радиуса R площади, образованные дугами, через которые одновременно проходят частицы жидкости, равны между собой.
Поскольку скорости также взаимосвязаны на линии тока, u 1 = и во всех частях цикла, цикл скоростей имеет вид
Как доказано в теории функций комплексного переменного, рассматриваемые циклы скоростей совпадают в замкнутом контуре с использованием принципа координат. Поэтому введение постоянной g в (18. 18) оправдано. Это обращение каждого замкнутого контура, содержащего принцип координат поля скоростей, заданного функцией (18. 18).
При рассмотрении рассмотренного ранее течения в неразрывном потоке цилиндра одна из концентрических окружностей, являющаяся линией потока, совпадает с окружностью, примыкающей к цилиндру. Общее поле скоростей также описывает постоянное обтекание цилиндра, называемое трафиком, в отличие от безтрафикового потока, описанного в разд. 18. 4.
Система тока для поля общей скорости показана на рис. 18. 12. Для фиксированного поля скорости рассмотрим поле давления на поверхности цилиндра. В верхнем полукруге скорость UJ жидкости при отсутствии потока в цилиндре совпадает с адресом со скоростью,2В нижней полуокружности, если цилиндр обтекается динамическим вихрем, эти скорости противоположны. Таким образом, скорость u velocityB= uj + u2В каждой точке верхней полуокружности скорость u больше скоростиH= uj + и2соответствующей (оси симметрии x) точки нижнего полукруга. (18. 16) на основе давления pв в каждой точке верхнего полукруга меньше меры скорости uj+ и соответствующей (оси симметрии x) точки нижнего полукруга.
Рис. 18. 12. Силовые линии, циркулирующие по потоку в цилиндре — описание расчетов подъемной силыz
Давление меньше pн в соответствующей точке нижней полуокружности обеспечивает ненулевое значение подъемной силы.
Используя уравнение (15. 41) для определения давления на поверхности цилиндра, вычисляем интеграл (18. 23) и исключаем весовые силы Архимеда,
Таким образом, в поле скоростей, образующемся при обтекании потенциального вихря беспрепятственным потоком цилиндра, на цилиндр действуют подъемные силыzЕсли скорость жидкости в потенциальном вихре направлена по часовой стрелке, то он направлен вверх. Это утверждение является основным содержанием подъемной силы в теореме Цуковского.
Выше показано, какими свойствами должно обладать поле скоростей при обтекании твердого тела, чтобы на него действовала подъемная сила. Однако здесь еще не говорится о том, как создается такое поле и при каких условиях оно формируется.
Одним из простейших примеров образования такого поля скоростей является полет в воздухе самолета со скоростью VНоси.Сфера вращается вокруг горизонтальной оси. Во время вращения она прикрепляется к твердой поверхности, увлекая за собой воздух (рис. 18. 13). В инерциальной системе координат с началом в центре шар движется с транспортной скоростью kПоложение.картина течения качественно аналогична той, что показана на рис. 18. 12.Положение.(рис. 18. 13). Скорость.
Рис. 18. 13. Схематическое описание явления Магнуса — шарик движется со скоростью uПоложение.Справа налево — поверхность сферы показывает скорость жидкости, связанной со сферой и движущейся координированной системой
Рис. 18. 14: Траектория движения теннисного мяча:
1 — мяч не вращается — 2 — мяч отстает — 3 — мяч отстает
Рисунок 18. 15. Угловой удар с сухими листьями — прямая пунктирная линия представляет собой ожидаемую траекторию движения вратаря, если мяч не вращается.
Она направлена слева направо, и подъемная сила в этом случае направлена вниз, так как составляющая скорости вихря направлена влево.
Возникновение подъемной силы при специфическом вихревом движении вращающегося тела называется магнусом. Это явление используется теннисистами. При вращении мяча возникает отрицательная подъемная сила (рис. 18. 14), и мяч движется по более крутой траектории вниз по корту, чем под действием силы тяжести. Закрытый мяч имеет положительную подъемную силу, и мяч летит по траектории без вращения.
В футболе при выполнении эффектного углового удара, называемого «сухим листом», игрок вращает мяч вокруг вертикальной оси. Наконец (рис. 18. 15).